34 A. LlAPOUNOFF, SOR UNE SERIB DANS LA THEORIE 



on aura ^ < 1 , et la question sera resolue. Dans le cas contraire, on calculera Ay Si Ton 

 trouve alors 



A^^A^ — A^-h- A^ — A^, 



on aura ^ > 1. Si, au contraire, on a 



A^^ A^ — -^3 -I- ^2 ^j, 



on calculera ylg, et Ton continuera les calculs jusqu'a ce qu'on parvienne a une inegalite de 

 la forme 



-^n ^ -^n— 1 ^n— 2 "*" • • • — -^2 H= ^1 ) 



ce qui ne manquera pas a a'rriver, si A n'est pas 6gal a 1. Alors, si n est un nombre pair, 

 on aura ^ < 1 et, si c'est un nombre impair, on aura ,4 > 1 . 



En ce qui coucerne enfin le troisieme cas, on le subdivisera en trois cas, qui se distin- 

 gueront par la valeur de A^. En posant 



A^ — 'S'a = A^ — A^-t- A^ = Og , 

 ces cas seront les suivants : 



1) A,<S,-2, 2) S,-2<A,<S„ 3) A>S,. 



Dans le premier de ces nouveaux cas la question sera resolue imm^diatement, car on 

 aura A <. — 1 . 



Le deuxieme cas se traitera de la m6me maniere que le deuxieme cas d^fini precedem- 

 meut par la valeur de A^. 



Quant au troisieme, on le divisera en trois cas nouveaux, qui se distingueront par la 

 valeur de A^ et qui preseuteront les m^mes circonstances que les trois cas relatifs aux va- 

 leurs de A^. 



On voit done que chacun des termes de la suite 



conduit a une distinction de trois cas, dont le troisieme se subdivise en nouveaux trois cas, 

 qui se distinguent par la valeur du terme suivaut. 



II est evident que Ton ne pourra pas se trouver toujours dails le troisieme cas, et que 

 Ton finira par tomber ou sur un des premiers cas, oii la question se resout immediatement? 

 ou bien sur un des deuxiemes que Ton traitera comme il a 6te montre. 



