MS.EQUATIONS DIFJERENTIELLKS L1NEAIRE8 DO SECOND ORDRE A COEFFICIENTS PERIODIQUBS. 41 



et d'apres cela il vient 



.1 



(37) a,= ' ' 



3 720 12 



Jo -Jo 



»'0 



Nous avons etabli cette formule dans la supposition que (0) = 0. Mais il est facile de 

 s'assurer que la formule est exacte quelle que soit la valeur de (0). 

 En effet, la constante caracteristique de I'^quation 



c 6tant un nombre constant quelconque, est la m6me que celle de 1 'Equation 



Done, en consid§rant le developpement de cette constante suivant les puissances du para- 

 metre (X on parvient a la conclusion que la valeur de A^ ne change pas, si Ton remplace, 

 dans son expression, p{x) par p{x -+• c). 



De 1^ il r^sulte que la valeur de a^ ne sera pas chang6e, si Ton remplace la fonction 

 (t) par (^ -I- a), a 6tant une constante arbitraire. 



Cela pose, prenons pour a une des valeurs de t qui annulent la fonction G) (t), et dont 

 I'existence est assuree par la condition (36). Nous aurons pour a^ une expression qui s'ob- 

 tiendra en remplagant dans celle (37) la fonction = 0(^) par 0(i-Ha), et comme, dans 

 cette expression, les integrales ne porteront que sur des fonctions periodiques, nous pour- 

 rons supprimer a. sans changer les valeurs dies integrales. Nous retrouverons done la for- 

 mule (37). 



17. En partant de la formule (37), on peut etablir que I'expression (13) pour n = 3 

 repr^sente une limite superieure pour Jg. 



Tout d'abord nous remarquons que I'int^gration par parties donne 



QQ'^dt =— y &^Q"dt. 



Jo J Q 



Par suite la formule (.37) peut etre pr6sent6e sous la forme 



''3 = ,i„-^fe'''*'-^f[e' <"-*-! [«'"-'" -^'X"' 



Jo Jo Jo 



San. <hra.-HaT. Ota- 



