42 A. LlAPOUNOFF, SUR BNE SERIE DANS LA THEORIE 



ou bien 



(38) 



en posant 



«3 = 7-ro-^f^(®"-^l)^^' 

 Jo 



Jo 



/»1 



'0 



&'dt— 6 &\ 







Or, en vertu de la supposition que la fonction p ne deviant jamais negative, on a 



0"-+-l>O, 

 puisque I'^galite 



donne 



<x>p(uit) = ail-+-Q'\t)]] 



et nous aliens maintenant montrer qu'on aura toujours 



T>0. 



De la il resultera 



^3 ^ 720 



et, par suite, 



(39) ^3<,-^,co«a% 



oil le second membre est la valeur de I'expression (13) pour n=S. 



Pour 6tablir I'in^galite T > 0, nous allons nous servir de la proposition connue que 

 toute fonction p6riodique dont la derivee est continue peut 6tre developpee en une serie uni- 

 form 6ment convergente suivant les sinus et les cosinus des multiples de I'argument. 



En vertu de cette proposition, la fonction 0"(^) etant continue (puisque la fonction p 

 est suppos^e continue), nous aurons, pour Q'{i), une expression de la forme 



Q'(t) = 'V (a^ cos 2uA;< -*- ^^ sin 2Tikt), 



les a^ et les p^ 6taut des constantes, et la sommation s'^tendant a toutes les valeurs entieres 

 et positives de k, a partir de it = 1 . 



