44 A. LlAPOUNOFF, SUR UNE SERIE DANS LA THEORIE 



et de la, en vertu de (41), il vient T> 0. On voit d'ailleurs qu'on ne pourra avoir T= 

 que dans le cas ou la fonction est identiquement nuUe. 



18, L'inegalite (39) donne, pour A^, une limite sup^rieure qui peut etre utile dans les 

 considerations que nous avons developpees au n" 14. 



En introduisant au second membre de cette inegalite la quantite ^j, on trouve 



^3^ on A • 



90 



Done, si Ton a 



~ 90 



on pourra conclure l'inegalite 



(43) A,> l.A,'-^A, — 2, 



A,<A, — A,-i-2 



et, par suite, celle-ci ^ > — 1 . 



II est d'ailleurs facile de montrer que la condition (43) assure aussi l'inegalite A<il. 

 En effet, en vertu de (28), cette condition n'est possible que si Ton a 



■g- A ^ 90 ^l'^ ~*~ -4j 2 , 

 ou bien 



(44) A,^—15A,^-+-90Ay—l80<0, 



ce qui exige que A^ ne surpasse pas le nombre 3,7859 .. ., representant la racine reelle 

 unique de ['equation 



a;3_ i5a;2-*-90a;— 180 = 0; 



et nous avons vu que pour .4j<6 on a toujours'^ < 1. 



Du reste il est facile d'obtenir, pour^g, une limite superieure plus precise. 

 En effet, l'inegalite (42), en vertu de (41), donne 



/.I 

 2T>(l— ^) Q'^dt, 



ce qui, eu egard h (35), peut etre presente sous la forme 



2'>(i-l)(s-4 



