46 A. LlAPOUNOFF, SUR UNE SIERIE DANS LA THEOKIE 



oil G designe une constante et 4>" {x) la d6riv6e du second ordre d'une fonction periodique 

 <|) (a;) = 4> satisfaisant a la condition 



<^{x)dx = 0. 



Nous aurous 



a =0(0, Q"{t) = \^"{x) 



et, par suite, 



Done il viendra 

 et les formules (35) et (37), eu egard a ce que J^^ = a^ C* co^", donneront 



J>co 

 



24 



J«10 ntxi nt 



<p''dx-i-2G(o ^^dx—ui 

 ♦^O ''O 



A^ = ^—'^ I <p''dx-i-2G(o I ^'dx—oi I 4>4>'2(ia;. 



Telles sont les plus simples formules pour le calcul de A^ et ^g, dans le cas oii Ton 

 connait le developpement de la fonctiou p en serie de Fourier. Par ces formules on voit que 

 A^ se pr6seutera sous forme d'une serie simple, tandis que, pour A^, grace a la presence 

 dans son expression de I'int^grale 



4><I>''* dx 



on aura, en general, une serie double. Mais, si cette integrale est egale a z6ro, on aura, 

 pour A^ aussi, une s6rie simple. C'est ce qui aura lieu, par exemple, si 4>(a;) est une fonc- 

 tion impaire, ou, plus gen6ralement, si, par un choix convenable du nombre a, on pent 

 rendre la fonction $ (a h- a?) impaire. 



Si Ton presente le d6veloppement de la fonctiou 0" sous la forme 



oo 



,T."/ \ '^ /■) • 2Ttfc(a; — a,.) 



* (a;)= >^6^sm L___l', 



