DBS EQUATIONS DIFFEKENTIELLES LINEAIRES DU SECOND ORDRE A COEFFICIENTS PERIODIQUES. 53 



Soit maintenant [x > y, cas ou il faudra poser 



X2 = 8fx(]— fx). 



En le faisant et en remarquant que nous aurons unc limite sup6rieure pour ¥ — 6 a 

 en remplagant dans son expression u^ par 10 et tt* par 97, nous obtenons rin6galit6 suivante : 



62 — 6rt< fiOiji^— 88(x''-f-12fjL2-*-21fji. — 8 



1 4 I 2 1 28 



-^T6f^ -yl^ -^¥f^ — 45- 



Or, fjt. 6taut plus petit que 1, I'expression qui figure a la deuxierae ligne est, 6videin- 

 raent, negative. Nous aurons done a plus forte raison 



6^— 6a < GOijL* — 88[x^ -+- 1 2(x2 -;- 2 1 [JL — 8, 



et le second membre se reduit ici k 



— 3[jl3— (1 — a) [(GOa -+- 28) (l^ — \J -+- 7[jl2 -+- l] 



et, par suite, est negatif. 



Done I'in^galite (52) est 6tablie. 



Ayant ainsi d^raontre que le premier membre de la condition (50) est une fonction 

 croissante de (7, nous pouvons conclure que cette condition est 6quivalente k celle-ci 



oil X d^signe la racine r^elle unique de I'equation 



(53) ax'^ — K^b x''-^-2tz*x — 2tz* = 0. 



II est facile de s'assurer que x est toujours plus petit que 2. 



En eflfet, le premier membre de I'equation (53) 6tant d6sigu6 par f{x), on trouve 



/•(2) = ^u^-(l7:«-2).a^H-(32-^6,x— i.»)XS 



et cette expression, pour les valeurs consid^r^es de (jl, est toujours positive. On a done 

 f{2) > 0, et de la, f{x) 6tant uue fonction croissante, on conclut bien x < 2 



Ainsi on voit que, sous la condition (50), on aura toujours rt^ (7< 2, et que, par suite, 

 -4, sera plus petit que 4. 



De 1^, eu egard a ce qui a 6t6 remarqu6 au n° 11, il r^sulte que sous la condition con- 

 8id6r6e on aura non-seulement ^ > — 1 , mais encore ^ < 1 . 



