54 A. LlAPOUNOFF, SUR UNB SERIE DANS LA THEORIK 



23. La quantite x est une fonction de X et (x, et nous allous maintenant chercher les 

 valeurs extremes de cette fonction, X et f;. etant toujours assujettis aux conditions (48). 



En ce qui coucerne la plus grande valeur de x, 11 est facile d'etablir qu'elle correspond 

 a la supposition 



X = 0, {JL = It 1. 



En eflfet, soient f^{x) et Xj ce que divieunent dans cette supposition f{x) et x. Nous 

 aurons 



f(rc) = /;(rr)-4-[::^-(|7.^-4-|^x).^]XV-l-l[(|7:^-l)a;-T:^](l-tx^)rr^ 

 et, comme on a /'j(xj) = 0, il en r6sultera 



Ax,)=[7r«-(|7r^-4-l(.)xJXV-H^[(|-u^-l)x,-Tr^](l-p.^)x^ 



Or nous venons de voir que x est toujours plus petit que 2. Done on aura Xj < 2, et 

 en vertu de cela le terme en X^ dans la formule obteuue sera toujours positif, 

 D 'autre part, on pent etablir que 



A cet efifet, la fonction fj^{x) 6tant croissante, il n'y a qu'a etablir I'inegalite 



et on le fera ais6ment en remarquant que 



d'oii il vient 



D'apres cela I'expression ci-dessus de f(xj permet de conclure 



Ax,)>0, 

 et cette in6galit6 fait voir que Ton aura toujours x<Xj, ce qui prouve bien notre assertion. 



