56 A. LlAPOUNOFF, SUR UNE SERIB DANS LA THEORIB 



On a done 



e'(— i)<o, o'(i)>o, 



ce qui fait voir que I'^quation G' (jx) = 0, qui est du second d6gr6 en fx, a une racine dans 

 I'intervalle { — 1, -»--g-), et que, cette racine 6tant designee par [Xq, on a 



O'(p.)<0, si — l<p.<(j.o, 



e'({x)>o, si |x„<|x<l 



Soit main tenant (Ji-^y- 



Nous aurons M= 8^1.(1 — (x) et, par suite, 



6'(fx) = 8[7r«-(|7:« — 4 — -|-(x)a;](l— 2(x)-+-6|x(l-(x)a;^-|p — (Itt^— l)a;][x. 



Pour (Jt = -3- on en d6duira la m^me valeur que pr^cederament, ce que Ton volt im- 

 m6diatemeut par I'identite 



(lH_j^)2_8{x(l-[x) = (l-3fxf. 



On aura done 0'(|^) > 0, et Ton trouve 



e'(i) = -S[,._(|^._5):.], 



ce qui est une quantity negative. 



Done l'6quation 6'((x) = 0, qui, dans la nouvelle supposition, sera encore du second 

 d6gr6, admet une racine dans I'intervalle (y, 1|, et, si Ton designe cette racine par (Xj, 

 on aura 



e'(fx)>o, si ^<fx<fx,, 

 e'(tx)<o, si [x,<|x<i. 



Par suite de cela on arrive k la conclusion que la fonction 6 (p.), qui varie toujours 

 contindment avec (x, 



d^croit, quand [x croit de — 1 a [Xq, 



croit, » » » de [x^ a (x^, 



d6croit, » » » de (Xj a 1. 



