62 A. LlAPOUNOFF, SUR UNE SERIE DANS LA THlSORIE 



En nous bornant a ces formules et en remarquant que la condition A,K2 ne demande 

 aucune discussion, passons a celle-ci 



A,<A,-2. 

 Cette condition se r^duit a 



(56) [^-J„)a,^-^^A,^2^^<0 



et d'abord exige que les racines de I'equation 



(57) (^ — J^)a:2 — 712^-1-2 Tr2 = 



soient r6elles, ce qui s'exprime par I'inegalite 



(58) J„>g. 



Or, en se reportant a I'expression de J"^, on voit que c'est une fonction croissaute de n. 

 Done I'inegalite (58), si elle se trouve remplie pour une valeur donnee quelconque de n, le 

 sera encore pour toutes les valeurs plus grandes. 



Pour n=l cette inegalite n'est pas remplie, puisqu'on a 



7 — 1 <^ - 



2 



4 ^ 2l 



Mais pour n = 2 on la trouve deja satisfaite, car 



•^2 144 ^^ 24 '^ 24 ~ 144 ' 



et, par suite, elle sera satisfaite pour toutes les valeurs de w a partir de n=2. 



Ainsi, sauf le cas de n= 1, les racines de I'equation (57) seront reelles, et, si on les 

 designe par x^ et iCg, en supposant x^ < iCg, la condition (56) se reduira a 



ajj < ^1 <x^. 



Voyons en quelJes limites peuvent varier les valeurs de x^ et x^, le nombre n 6tant 

 plus grand que 1 . 



Pour n=2 I'equation (57) devient 



(f-S^'-"'^-^2T:« = 0' 



