68 A. LlAPOTJNOPF, SUR UNE SERIE DANS LA THEORIE 



Par suite, tant que A^-CA^^ on aura 



A^ — 2AA ^ l-(''^ — iy A' — -(— — -) A^ 

 A,—2A,A,<^,^-^ ^jA, ^,^^- „j^i, 



et la condition consider6e sera remplie, si 



(63) l(f-|)'A'-|(f-f)A'-2^,-4<0. 



Or on voit iramediatement que cette derniere condition, comrae celle (32), n'est pos- 

 sible que si A^ est plus petit que 4, ce qui entraine I'inegalite A^ < Ay 



Done, sous la condition (63), celle (32) sera toujours remplie, et nous aurons A^<C.l. 

 Cela pose et en faisant, pour abreger, 



_1_ I V^ 2_\ 



cousiderons I'equation 



yj2a;8— 2via;2-f-2a;— 4 = 0. 



Cette equation n'a, evidemmeut, qu'une seule racine reelle, et, si Ton designe cette ra- 

 cine par x^, la condition (63) se r^duira a 



■^1 ^ ^0- 



Developpons la racine x^ suivant les puissances ascendantes de y), ce qui donnera 



Xo = 2-+-4yi-»-12y]2-h . . ., 



et arr6tous-nous a la valeur approchee 2 -♦- 4v]. 



En substituant cette valeur dans I'equation, on trouve que le premier membre se re- 

 duit a 



— 8y)2 (3 — 2yi — 12V — 8y]8), 



et il est aise de voir que c'est une quantity negative. 

 En cffet, I'egalite 



montre que Ton a v) < ^ , d'ou Ton voit que 



2YJ-+- 127)2 H-8y)''< 3. 



