70 A. LlAPOUNOFF, SUR UNE SEEIE DANS Li THEORIE ETC. 



dans les Gomptes rendiis (t. CXXVIII, 10 avril et 1 mai 1899), elle n'en admet qu'une 

 seule *) . 



Pour cette racine, qui est la plus petite parmi les racines de I'^quation ^ -i- 1 = 

 (n'ayant que des racines reelles), nous obtenons ainsi une valeur approchee, savoir, 



iVn 8/2 



avec une erreur qui est inf^rieure a — = . 



Vn 



*) En vertu de cette proposition, I'equation transcendante A^ — 1 ^= (ou le premier membre est une fonction 



entiere de X), quel que soit I'entier positif n, admet, outre la racine evidente X = 0, une infinite d'autres, qui sont 



toutes reelles et positives, et ne peuvent etre que simples ou doubles. Cea racines, rangees dans I'ordre croissant, 



§tant designees par 



■\ r \ II \ I -i II y r \ n 



a condition que chaque racine double, s'il y en a de telles racines, soit repetee, dans cette suite, deux fois, les termes 

 X/ , X/' a indice i impair seront des racines de I'equation A-t-l =0, et ceux h. indice pair, des racines de I'dqua- 

 tion 4 — 1 = 0. 



D'apres cela, si Ton entend par X, et par X, les valeurs de X pour lesquelles on a respectivement 4, =a;„, 

 ^, = ajj , le nombre n etant suppose plus grand que 1, I'intervalle (X,, X,) ne pourra contenir qu'une seule racine de 

 I'equation A'^ — 1=0. En eifet, pour a = Xo etX = X,,la fonction A^ — I a, des signes opposes. Par suite, I'inter- 

 valle (Xo,X,) contient un nombre impair de racines (toute racine double etant comptee pour deux), et, comme dans 

 cat intervalle on a .4,<a;,<4, parmi ces racines, il ne se trouve point qui appartiennent ;\ I'equation A — 1=0. 

 Done I'intervalle considere ne pent contenir qu'une seule racine, celle X', , et I'intervalle qui nous interesse est com- 

 pris dans celui (Xo,Xi). 



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