4 W. Stekloff. 



continue dans (D), 1^ une constaute positive, bien determinee pour chacune des fonctions 

 V/. [et pour cliaque domaine donne (D)]. 



2. Supposons que F^(/c= 1, 2, 3, . . . .) satisfont aux conditions 

 (3) jpV,'de=l, 



ce qui est toujours possible d'admettre sans restreindre la gen6ralite. 



Considerous les fonctions 1°, 2°, 3°, 6° et 7° du w' 1. 



On sait que toute fonction f (d'une seule variable dans les cas 1°, 2° et 3°, de deux 

 variables dans le cas 6° et de trois variables dans le cas 7°), satisfaisant a certaines con- 

 ditions, assez generales, dans un certain domaine (D), se developpe en series uniformement 

 convergentes procedant suivant les fonctions dont il s'agit ^). 



Sans rappeler les conditions generales, il nous suffit de remarquer que ce developpe- 

 ment a lieu, pourvu que la fonction f ainsi que ses derivees de deux premiers ordres restent 

 continues dans le domaine (D). 



Ces conditions 6tant remplies, on a pour les points du domaine considere 





*=] 



p d^signant une fonction continue et positive, 



De cette egalite on tire, en tenant compte de (1) et (3), 



oo 



(4) Sprde=^A,\ 



I'egalite ayant lieu pour toute fonction f continue avec ses derivees de deux premiers ordres. 



Considerons maintenant les fonctions 5°, 8°, 9° et 10°. 



J'ai demontre dans divers Memoires, cites plus haut, sans m'appuyer sur la possibilite 

 du developpement d'une fonction donnee en series des fonctions dont il s'agit, que I'egalite 

 (4) a lieu toujours, pourvu que f soit une fonction continue avec ses derivees de deux pre- 

 miers ordres. 



En repetant presque textuellement les m^mes raisonnements nous pouvons etablir I'ega- 

 lite (4) pour les fonctions 11° de M. Korn sous les memes suppositions par rapport a f. 



Quant aux fonctions 4° de Tchebicheff, I'egalite (4) aura lieu toutes les fois que la 

 fonction f soit egale a un polynome quelconque en x. 



1) Voir, par exemple, Dini: c(Sopra la serie di Fourierw, 1872. 



Heine: wHandbuch der Kugelfunctionena, 1878. 

 Jordan: aCours d'Analyse.)) T. II, 1894. 



