SUR CERTAINES EGALITES GENERALES COMMUNES A PLUSIEURS SERIES ETC. 5 



II en resulte de ce que nous avons dit que VegaliU {4) a lieu 2^oiir chaque suite de 

 fondions, enumerees dans le n° 1, poicrvii que f soil un polynome quelconque des variables 



X, IJ, 2. 



On a done pour tout polynome P et pour chaque suite de fonctions V^{k=l,2, B, ) 



du n° 1 



(5) jpP'de=^B,^ B, = jpPV,de. 



k=l 



3. Designons maintenant par f uue fonction quelconque, bornee et integraUe dans le 

 domaine (D), et posons 



f = ^Ay,-^^n^ A=jpfV,de, 



i = l 



On trouve aisement, en tenant compte de (1) et (3), 



Sprde=J^A,^-*-S„. 



ii=i 



Cette egalite conduit aux propositions suivantes ayant lieu pour toute fonction f, bor- 

 nee et integrable dans le domaine donne (D): 

 1°. La serie 



oo 



2 



2^. 



est toujours convergente, car 



u 



^A'<hrde, 



kz=l 



quel que soit le nombre n. 



2°. La quant He S^, consideree comme fonction de Vindice w, decroU, lorsque n crott 

 iudefiniment, car 



4. Posons maintenant 



n 



(6) P=y^B,V,-^R^, B,=:jpPV,de, 



P etant un polynome quelconque en x, y, z. 



