6 W. Stekloj'f. 



Dans ce cas on trouve, eu vertu de (5), 



(7) lim S^ = lim J p R^ de ^=- 0. 



w=oo n-oo 



Soit ^j; une autre fouction, boiuee et iutegrable dans le domaine (D). 



Multiplions (6) par p^de et I'iutegrons. On trouve, en tenant compte de (1) et (3), 



n 



ip']^Pde=^B,G,^-ip^BJe, C,=ip^V,de. 



Or, quel que soit le uombre n, 



[i P'^BJef <i pB:de.i p^^de==Q^S^, 



ou Ton a pose 



Q^ = ^ p^de. 



Supposous que n croisse indefiuiment et passons a la limite ; il viendra, en vertu de (7), 



lim { p'\)E de = Q ^ 



n=oo 



ce qui demon tre la proposition suivaute : 



Quelle que soit la fonction ^, hornee et integraUe dans le domaine (D), on a toujours, 

 pour tout polynome P et pour toutes les fonctions V^ du n° 1, le developpement suivant 



oo 



Sp^Pde = y^B,C\, B,=jp']^V,de, C,=jpFV,de. 



k-i 



Le theoreme euonce, qui resuite immediatement de Tegalite (5), n'est qu'uu cas parti- 

 culier d'un autre theoreme beaucoup plus general que nous demontrerous plus loin. 



5. Apres ces remarques preliminaires, passons a la demonstration du theoreme 

 suivant : 



Si Vegalite de la forme 



oo 



(8) ipP'de=^B,', B,=jpPV,de, 



4 = 1 



P etant iin polynome quelconque en a;, y^ s, a lieu pour une suite quelconque de fonc- 

 tions F,^(^= 1, 2, 3, ....), satisfaisant aux conditions 



(9) ^pV^V^de=^Q, sim>n, jpV^'de^l, 



