Sun CERTAINES E6ALITKS GENERALES COMMUNES A PLUSIEURS SERIES ETC. 7 



elle avra liau necessairement pom' tovte foncHon /", continue da>is le domaine (D), c^est-d- 

 dire on aura 



jpPcie=^A,\ A,=jpfV,de. 



k — i 



Ou pent employer, pour la demonstration, la methode indiquee dans mon ouvrage : 

 «Les methodes generales pour resoudre etc. » (Kharkow, 1901, p. 251)^), raoyenuant le 

 th6oreme connu de M. E. Picard sur le developpement des fonctions continues en series 

 des polynomes. Mais on peut simplifier les raisonneraents, comrae I'a reraarque M. Lia- 

 pounoff, de la maniere suivante: 



Quelle que sort la fovction f, continue dans le domaine (B), on pent toujours construire 

 un polynome P tel qu'on ait en tons les points du domaine {B) 



(10) !/■— p|<£, 



£ etant un nombre positif, donnS a Vavance. 



C'est le theoreme connu, etabli pour la premiere fois par M. Weierstrass pour la 

 fonction f ne dependant que d'une seule variable x. 



On sait raainteuant que ce theoreme reste vrai pour toute fonction continue f de pju- 

 sieurs variables independantes. 



En entendant par P dans (8) le polynome ainsi defini, ecrivons cette 6galit6 sous la 

 forme suivante: 



^pPde-^-2ipf{P — f)de^ip{V—ffde=^{J,-^r-G,)\ 



k=i. 



OU ron a pose 



A^h'f^k^'^ o, = !p{P-f)v,de. 



L'egalite precedente donne 



Uy tJU 1.-*-' 



(11) iprde — ^A,^=^C\'-i-2^A,C\ — jp{P-ffde-2Jpf{P—f)de. 



k~l k=l k—1 



Soient maintenant 



Qj, ffj, O3, . . . . , a„, . 



&j, \, &3, , ft„ 



deux suites de nombres arbitraires, n etant uo entier quelconque. 



1) Voir aussi mon Memoire: «Sur le developpement d'une fonction donnec en series proccdant suivant les 

 polynomes de Tchebiclietf et, en particulier, suivant les polynomes de Jacobi.» Journal fiir die reine und angew. 

 Mathematik, Bd. 125, 1902, p. 210 etc. 



