(13) 



ou 



SUR CERTAINES KGALITKS GENERALES COMMUNES A I'LUSIEURS SERIES ETC. 



Ces inegalites donnent, ou egcard a (11), 



°° I 



k=i I 



N=--2i jpde -^-^Vjpde-jppde 

 est un nombre fini positif. 



L'inegalite (13) demontre le theoreme, enouc6 au debut de ce u". 



6. Soit maiDtenant Vi^{k= 1, 2, 3, . . . .) une suite quelcouquc de fouctions, com- 

 pletement definies dans un domaine donne (D), satisfaisaut aux conditions (9) et telles qu'on 

 a toujours 



quelle que soit la fonction i|i, continue dans le domaine (D). 



Je demontrerai, dans ce qui va suivre, ce theoreme general : 



Si Vegalite {14) a lieu pom toute fonction ^j>, continue dans (D), elle aura lieu neces- 

 sairement pour toute fonction f qui n'est que bornee et integrable dans le domaine donne. 



Decomposons (D) en domaines elementaires 



q 6tant un nombre entier quelconque. 



Desiguons par e,^ ceux de ces domaines particuliers, oii roscillation 0^ de la fonction f 

 est plus petite qu'un nombre positif e, donn6 a I'avance, par e. — ceux, oii Tosciliation 0. 

 de f surpasse e. 



Comme f est integrable dans (D), on pent choisir une decomposition convenable telle 

 qu'on ait 



(15) 2'^<^' 



la somme etant etendue a tous les elements e,. oii I'oscillation 0^ surpasse le nombre e. 



Le nombre £, qu'on pent prendre si petit que Ton veut, etant fixe d'une maniere con- 

 venable, formons une fonction 'ji, continue dans le domaine (D) tout entier, et telle que Ton 

 ait en tous les points de chacun des elements e^ 



(16) ^ = f-^t\. 



