14 W. Stbkloff. 



7. La simple comparaison du th^orerae demontr6 avec celui du n" 5 nous conduit h la 

 proposition suivante : 



Si Vigalite de la forme 



oo 



(28) ipP'de = ^B,\ B, = jpPVJe, 



P etant tm polynome quelconque en x, y, ^, a lieu pour une suite quelconque de fonctions 

 V^{k=l, 2, S, . . . ,) satis faisanf aux conditions 



j pV^V^de = pour w ^ m , j pV^^de = 1 , 



elle aura lieu necessairement pour toute fonction f, hornie et integrable dans le domaine (D), 

 c'est-a-dire on aura 



CO 



iprde=^A,\ A, = jpfV,de. 



4 = 1 



Or, nous avons montre que I'egalit^ (28) a lieu pour chacune des suites de fonctions 

 V^{k= 1, 2, 3, ... .), enumerees dans le n" 1 [voir n*'2, I'egalite (5)], 



Nous pouvons done 6noncer le theoreme suivant : 



Quelle que soit la fonction f, hornee et integrable dans le domaine (D), on a toujours, 

 pour toutes les fonctions Vj^{k = 1, 2, 3, ....)> enumerees dans le n° 1, le developpement 

 suivant 



(29) SPf'^'=^A^ A, = jpfV,de, 

 comme si la serie 



2^A^A, 



*=l 



pouvant vC avoir aucun sens sous les suppositions generales, faites par rapport a la fonction 

 f, Uait non seulement convergente mais encore uniformement convergente. 



Je dois rappeler que ce theoreme, dans les cas particuliers des fonctions trigonom^tri- 

 ques et spheriques, a ete demontre pour la premiere fois par M.Liapounoff en 1896—97, 

 mais par une methode tout-a-fait differente de celle que nous venons d'exposer. 



La demonstration nouvelle du theoreme de M. Liapounoff (pour les fonctions tri- 

 gonometriques) a paru recemment dans le Memoire de M, A. Hurwitz: «Sur quelques 

 applications geom^triques des series de Fourier)) (Annales de I'Ecole Normale, Sep- 

 tembre, 1902). 



