SUR CEKTAINES EGALITES CENEKALES COllSIUNES A PLUSIEUliS SEKIES ETC. 



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Le uombie positif e otant doiine a I'avauce, ou pent trouvcr un nombre o, suffi- 

 samment petit, et ud uombre V, suffisamment graud, dv, fuQou que I'ou ait pour chaque 

 point w, interieur a (a) 



OO CO 



t=i 



i = l 



<^, 



< £ pour n > v', 



et 



car f reste continue a I'int^rieur de (a). 



D 'autre part, le nombre e etaut donn6, on peut, d'apres le theoreme precedent, trouver 

 nn nombre v> v' et un point m, interieur a la sphere (a), tels qu'on ait 



f(m)-^A,T,im) 



< £ 



i=l 



De ces inegalites on tire aisement 



fi^h) —2 ^A ^k ('"i) I < 5£ pour n > v'. 



A = l 



Le theoreme suivant est done demontre: 

 La serie 



2a^.> A = J>/T,rf. 



a f pour somme en tons les points d'un domaine {Dq), interieur an domaine donne {D), si 

 elle converge uniformement et la fonction f reste continue dans (Dq). 



On pent appliquer ce tlieoreme, qui me semble interessant par lui-m6me, a la solution 

 du probleme de developpement d'une fonction donnee en series procedant suivant les fonc- 

 tious Vi^{k= 1, 2, 3, . . . .) du n° 1, corame je I'ai montre, pour la plupart des ces fouc- 

 tions, dans mes travaux anterieurs, cites plus haut (un" 1 et 5). 



Mais a present je puis deduire, dans certains cas, les resultats plus gdndraux d'une ma- 

 niere plus simple, sans m'appuyer sur le theoreme que je vieus d'enoncer. 



J'indiquerai quelques uus d'eutre eux dans les nn" 12 et 13. 



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