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12. Soient, par exemple, V,^{k = 0, 1, 2, 3, . . . .) les polynomes dc Jacobi coric- 

 spondaut a la fouction caracteristique 



(33) i? = (1 -H s:f-' (1 —xf-\ 

 Vj^^\k = 0, 1, 2, . . . .) les polynomes correspondant a la fonctiou 



(34) p, = {l-^xT{l—xf, 



a et (3 6taiit des nombres quelconques positifs. 



Supposons que F)^ et F,.''^ satisfont aux conditions 



-t-i -t-i 



^ 2}V^^dx= 1, \ p^ (F//'))^ dx= 1. 



— 1 — 1 



On salt que F^ verifient les equations 



(35) {l-x')V;-^[^ — ^-{oc-^i^)x]V,;-^\V, = {k^0,},2,....) 



et que 



(36) V,; = y\Vl:±^, X, = fc(aH-p-4-A;-l).^) 



Soit maintenant f une fonction de x admettant la derivee du premier ordre boruee et 

 integrable dans I'intervalle ( — 1, -+- 1). 

 Posons 



(37) f=A,V,~^A,V,-^....-^A^V^-^Il^, A,=JpfV,dx, (^ = 0,1,2,....) 



On trouve, en differentiant, 



(38) /' = A,V,'^A,V:-*-....-^ 4^ F; -h <. 



Repr^sentons I'expression de J^. , en tenant corapte de (33), (34) et (35), sous la forme 



A, = -ljJfp[il-x^)V,!'-^[a~^-{a-^^)x]V,;]dx--=~l^Jfl{p,V,:)dx. 



1) Voir K. Posse: (tSur quelques applications des fractions continues algebriques.M P. 48 etc. St. Peters- 

 boiirg, 18SG. 



W. Stekloff: kSuf le developpement d'une fonction donnec en series etc.» Journal fiir die reine und angew. 

 Mathcmatilc. Bd. 125, Heft 3, p. 219. 



