22 W. Stekloff. 



La fouction jj, adraet, daus I'iutervalle ( — 1, -+-1), un maximum pour 



Xn 



a-f-^' 



elle croit, lorsque x croit de — la x^, et decroit, lorsque x varie de a;^ a -♦- 1 . 



Soit (a^ b^) un intervalle quelcouque, pris arbitrairemeut a I'interieur de I'iutervalle 

 douue ( — 1, -+- 1). 



Designons par [x^ la plus petite des quantites 



(l-*-a/(l— a/ et (1 h-Z>/ (1 _&/. 

 Ou aura, pour w> v et pour toutes les valeurs de x, comprises dans I'intervalle (a^, h^), 



d'ou, eu vertu de (39), 



£ etant uu nombre positif, doune a I'avauce. 

 11 eu resulte, eu vertu de (37), 



f-^AV, 



<^ 



pour w > V et pour toutes les valeurs de x, comprises dans I'intervalle {a^ , \). 



Le theoreme suivant est done demontre : 



Toute fonction continue f, admetiant la derivee du premier ordre bornee et integrable 

 dans Vintervalle ( — i, -t-i), se developpe, dans tout intervalle interieur a V intervalle 

 donne^ en serie uuiformemeut convergente procedant suivant les polynomes de Jacobi ^). 



Remarquous aussi qu'on pent obtenir les resultats analogues eu appliquaut la methode 

 iudiquee, legeremeut modifiee en details, aux fonctious F^ (/« =^ 0, 1, 2, . . . .), defiuies par 

 une des conditions suivautes 



-4-00 OO 



|e-«(^-HP)V^p^_^c^a^ = 0, ou [ (a; - a)^-"'^^-'*) F',^P,_^d^ = 0, 



1) Comp. G. Darboux: «Memo)re sur I'approximatiou des fonctions de tres grauds nombres et sur uue classe 

 etendue de developpements eu series.;) Journal de Liouville, 3 serie, T. IV, 1878. 



Otto Blumeuthal: nllber diu Eutwickeluug einer willkiirliclien Function etc.« Gottiugen, 1898. 



