SUR CERTAINES EGALITES GENEBALE8 COMMUNES A PLUSIECRS SERIES ETC. 23 



P,._j ctant iiu polynome arbitraire de degre < /c — 1, a, p et a ctant des constantcs 

 doniiees dont la premiere est positive, la seconde plus grande que — 1. M 



13. Considerons encore les fouctions 5° du n" 1 en supposaut, pour plus do simplicite, 



5 = 0, Ji= H = oo. 



On aura 



(40) F;' -^\pV^ = pour a<:x<h, 



(^-=1,2,3,....) 



(41) V,(a) = 0, V,{b) = 0. 



Supposons que la fonction /', ayaut la derivee f bornee ct integrable dans I'intcrvalle 

 (a, b), s'annulc pour x^= a et x = h. 



Posons, comme precedemraent, 



(42) . f=A,V^^A,V,^...-^A„V^^B.„, A, = \pfV,dx. 



a 



R^ est line fonction de x s'annulaut pour a; = a et x = li. 

 L'egalite (42) donne 



r = A, v;-^A,v;-^ :. . . -^A^ v;-^r;, 



d'oii Ton tire 



(43) I {By dx = f n clx -2 \ A' < I f '^^ = Q\ 



a a li — x a 



car, en vertu de (40) et (41), 



6 6 6 



\f'V-dx = fV^\-\fV:dx = \A„ 



a a a 



b b 



^V^'dx = \\pV'^dx = \, 



a a 



> b 



V' V'dx = \\pV„Vdx = '), 



1) Les polyuomes V/^, dont il s'agit, ont eto signales i)ar Tchebichcff en 1859. Voir N. Sonin: nSur le 

 calcul approximatif des integrales definies.n Varsovie, 1887 (en rusae). 



2) Rappelons que les fonctions Vff satisfont aux conditions 



6 b 



I p V„ V^dx = si m>n, \ pVk- ./x = ! . 



a 



