24 W. Stekloff. 



Or, rappelant que i?„ s'anuule pour x = a, on trouve 



a 



d'ou I'ou tire, en tenant corapte de (43), 



(44) R^\x) < 2Q {\R,'dxJ < 2Qy^), 



a 



oil Ton a pose 



x 

 a 



Designons maintenant par a le minimum de la fonction positive p nc s'annulant pas 

 dans I'intervalle (a, h) [voir n" 1 ] . 

 On trouve 



a a 



et, eu egard a (44), 



Appliquons le theoreme du n" 7 au cas considere. 



On peut trouver, d'apres ce theoreme, un nombre v tel qu'on ait pour w> v 



Sn < ^'\ 



i! etant un nombre positif, donn6 a I'avance. 



On aura, par consequent, pour «> v et pour toutes les valeurs de x dans I'iuter- 

 valle (a, h) 



t etant un nombre positif, si petit qu'on le veut. 



Cette inegalite demontre le theoreme suivant : 



Toute fonction continue /", admettant la derivee du premier ordre bornee et integrahle 

 dans Vintervalle donne (a, 6) et s'annulant pour a; = a et x = h, se developpe dans cet inter- 

 valle en sirie uniformement convergente procedant suivant les fonctions Fj( = 1, 2, 3, . . . .), 

 definies par les equations [40) et {41). 



