SUR CERTAINES E6ALITES GENERALES COMMUNES A PLUSIEORS SERIES ETC. 25 



On pourrait appliquer la m6me methode, couvenablenient inodifi6e, au cas de h = H= 

 ainsi que au cas general, ou h et H sont des constautes quelcouques positives et la fonction 

 q est dififerente de z6ro (fonctions 5° du n" 1), raais nous nous contentons, pour abreger, des 

 examples indiques et signalons, dans ce qui va suivre, quelques applications des th6oremes, 

 qui nous interessent, aux questions d'une autre espece. 



14. Soit f{x,y,z) une fonction bornee et integrable dans un domaine (D), liraite par 

 une surface fermee (5). 



Designons par dx I'element de volume de (D), par r la distance d'un point quelconque 

 a;, t/, 2 au point H, f\i C du domaine (D). 



La fonction 



(45) V{x,y,z) = l-^\^-^dz, 



I'integrale (par rapport a \ ■/;, t) etant etendue an domaine [D) tout entier, represente le 

 potentiel newtonien des masses attirantes a densite — /"(E, t\, "(), repandues dans le domaine (D). 



Les proprietes de la fonction U dependent de celles de f. 



Faisant une seule supposition que f soit bornee a I'interieur de (D) nous pouvons etablir 

 les proprietes suivantes de U: 



1°. La fonction U ainsi que ses derivees du premier ordre restent continues dans 

 I'espace tout entier. 



2°. Les derivees du second ordre sont continues a I'exterieur de [S) et satisfont a 

 r^quation de Laplace 



(46) ^?-^ It? -*- '^ = ^^ = ^ I'exterieur de {S). 



Soit m un point quelconque, interieur a (D). 



TniQons du point m, comme centre, une sphere (a), en entier comprise a I'interieur 

 de (D); soit p le rayon de (o-). 



Designons par (D^) le domaine, limite par la surface de la sphere (a), par (Z>,) la portion 

 de (D) qui restc, 



Designons d'une maniere gen6rale par les symboles 



J Fdi et )' Fd^ , 



F etant une fonction quelconque de a;, y, 2, les integrales dont la premiere s'ctend au do- 

 maine (Dg), la seconde au domaine (Dj), et posons 



(47) Uo = l\id.^ u, = ^^\U.. 



Da D, 



3an. *H3.-MaT. Or*. * 



