2 A. LlAPOUNOFF. 



Dans ce qui suit, nous nous proposons d'etudier les Equations (1) et (2) eu supposant 

 seulement que p est une fonction finie et positive qui ne croit jamais, quand a croit de a ^. 



D'ailleurs, loin d'admettre pour p une expression analytique quelconque, nous ne sup- 

 poserous pas meme que ce soit une fonction continue; de sorte que, pour certaines valeurs 

 de a, p pourra varier brusquement, et ce pourra meme arriver une infinite de fois dans I'in- 

 tervalle (0, A). 



D'apres la notion meme de densite, la fonction p ne pourra avoir de valeur determinee 

 que la oii elle est continue. Done, en nous pla^aut au point de vue general que nous venons 

 d'indiquer, nous devons preciser comment nous regarderons p comme une fonction decrois- 

 sante donnee de a, definie dans I'intervalle (0, A). 



Concevons une fonction cp (a) ayant une valeur positive determinee pour toute valeur 

 de a dans I'intervalle (0, A) et ne croissant jamais quand a croit de a ^ . 



Cette fonction variant ainsi toujours dans le m^me sens, on aura, pour chaque valeur 

 de a intermediaire entre et A^ des valeurs limites determinees cp(a-i- 0) et cp(a — 0), en 

 entendant par ces notations, suivant I'usage, les limites vers lesquelles tendent cp (a -*- &) et 

 (p (a — £), lorsque le nombre positif t tend vers zero. 



Pour ces valeurs limites, on aura toujours 



op (a — 0) > cp (a) > (p (a -i- 0), 



et si Ton a 



op (a -H 0) = cp (a — 0) , 



la fonction cp sera continue pour la valeur consideree de a. Comme on sait, dans tout inter- 

 valle, quelque petit qu'il soit, il y aura une infinite de pareilles valeurs de a. 



Cela pose, et en partant d'une fonction cp quelconque qui satisfait aux conditions enoncees, 

 nous admettrons qu'on ait 



? = ?(»), 



pour toute valeur de a pour laquelle la fonction cp est continue. 



De cette maniere la fonction p sera definie pour un certain ensemble de valeurs de a, 

 et cet ensemble contiendra une infinite de nombres dans le voisinage de tout nombre a entre 

 et 4. 



D'ailleurs, si Ton fait tendre a vers a, par une suite des valeurs appartenant a cet 

 ensemble et toutes inf^rieures ou toutes superieures a a, la fonction p tendra vers une limite 

 determinee qui coincidera avec (p(a — 0) ou (p(a-HO). 



Quant a la valeur a^=a elle-merae, le nombre a etant different de et de -4, la fonc- 

 tion p n'aura de valeur determinee que si cp (a -+- 0) ^ 9 (a — 0). Toutefois nous supposerons 

 que, dans tous les cas, le symbole p(a) ne peut representor que des nombres compris entre 

 cp (a -H 0) et cp (a — 0). 



