SOR L 'equation DB ClaIBAUT ET LES equations plus 6ENERALES, 3 



Enfin, pour a = et pour a = A, nous attribuerons a p des valours determinees que 

 nous definirons, en les nommant respectivement po et pj, par les formules 



Po = ?(-+-0), p, = (p(4 — 0). 



C'est ainsi que la fonction p sera supposee definie. 



En ce qui concerne la fonction W qui figure dans I'equation (2), nous la supposerons 

 continue dans I'intervalle (0, A). De plus, nous supposerons que la derivee '-,- existe et soit 

 continue pour toutes les valeurs de a dans cet intervalle, sauf, peut-etre, pour = 0, quand 

 elle pourra devenir infinie, mais cela de telle maniere que a ^ tende, pour a = 0, vers une 

 limite determinee *). " 



daW 



Ainsi W et -^ seront continues dans I'intervalle (0, A); et nous avons montre ailleurs 

 que cette circonstance a eifectivement lieu pour les equations de la forme (2) qui se pr6sen- 

 tent dans la theorie de la figure des plauetes**). 



Dans ces suppositions, nous allons etudier I'equation (2), que nous considererons en 

 elle-m^me, en faisant abstraction de la theorie qui lui a donn6 naissauce. 



I. — Quelques propositions generates. 



1, Afin de faciliter I'exposition ulterieure, nous nous arreterous d'abord a quelques 

 propositions generales dont nous aurons a nous servir dans notre etude. 



Nous commencerons par certaines propositions elementaires, pour la pi apart connues, 

 ou, du moins, appartenant a la categorie de ces propositions presque evidentes dont on ne 

 peut pas dire qu'on ne les connaissait pas. Nous croyons toutefois utile de les exposer, pour 

 fixer notre point de vue et ne laisser lieu a aucuu malentendu. 



Ne considerant que des quantites reelles, designons par F(x) une fonction quelconque 

 ayant une valeur determinee pour toute valeur de x dans un certain intervalle (a, P) et y 

 limitee (c. a d. ne surpassant pas, en valeur absolue, une certaine liraite). 



Puis, en supposant, pour fixer les idees, [3 > a, designons par x^, x^, . . ., x^_^ des 

 nombres quelcouques verifiant les inegalites 



a <x^<x^< . . . <x^_^ < p, 



et posons encore Xq = a, x^ = ^. 



*) Comme la fonctiou W est supposee continue pour a = 0, cette limite ne pourra, evidcmmeut, etrc que zero. 

 **) Voir le Memoire intitule Recherches dans la theorie de la figure des corps celestes (M6ra. de TAcadtmic 

 des Sciences, VIII serie, vol. XIV, j\» 7). , 



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