4 A. LlAPOUNOFF. 



La fonction F{x), qui est iiraitee daus I'intervalle (a, P), admettra dans I'intervalle 

 {z._ , X.), i etant un des nombres 1, 2, 3, . . . , n, une limite superieure et une limite infe- 

 rieure. Soicnt done, pour cet intervalle: L^ sa limite superieure precise et l^ sa limite infe- 

 rieure ^rec?se; de sorte que, l- 6tant un uombre quelconque de I'intervalle {Xf_^, cc.), nous 



aurons 



h<Fil,)<L,, 



et chacune des differences 



L-F{\), F{l^-l, 



pourra etre rendue, par le choix de i,., aussi petite qu'on voudra. 

 Cela pos6, considerons la somme 



(3) ^F[\){x, — x,_;), 



etendue a toutes les valeurs de i dans la suite 1, 2, 3, . . . , w, et supposons que le nombre 

 n augmente indefiniment, tandis que les differences 



aj,-a, x^-x^, ..., x^_^—x^_^, ? — ^„_i 



tendent toutes vers z6ro. 



Pour que cette somme tende, dans les circonstances signalees, vers une limite d6ter- 

 minee, independante de la loi suivant laquelle varient les nombres x^^ H,., il est evidemment 

 necessaire que, dans les memes circonstances, on ait 



(4) - lim2 (A- — h) i^i — ^e_i) = 0. 



On sait d'ailleurs que cette condition est suffisante, et toutes les fois qu'elle est rem- 

 plie on pose 



f F{x) dx = lim2 Fil.) {x, - x,_;) . 



a 



C'est la definition la plus usuelle de I'integrale, et c'est elle que nous adopterons, en 

 ce qui concerne le cas ou la fonction a integrer est limitee dans I'intervalle considere. 



Toute fonction F (x), pour laquelle la condition (4) est satisfaite, sera dite integrable 

 dans I'intervalle (a, P). 



De cette notion d'integrabilite on deduit plusieurs propositions generates, dont les plus 

 connues sont les suivantes: 



I. La somme et le produit de deux fonctions integrables dans un certain intervalle y 

 sont encore integrables. 



