SUK l'eQUATION DE ClAIBAUT ET LE8 ^QDATIONS PLUS GEN^RALES, 5 



II. Toute fonction, qui est continue dans un certain intervalle, y est integrable, 



III. Toute fonction, qui est limitee dans un certain intervalle (a, p) et qui ne pent 

 varier, quaud la variable independaute croit de a a [3, que dans un sens (toujours en crois- 

 sant ou toujours en decroissant), est integrable dans cet intervalle. 



On 6tablit aussi facilement cette proposition: 



IV. Si y est une fonction de x integrable dans I'intervalle (a, (i) et ne pouvant prendre 

 que des valeurs comprises entre les nombres I et L, toute fonction de y, qui est continue, 

 tant que y, considere comme une variable independaute, se trouve dans Tiutervalle (/, L), est 

 une fonction de x integrable dans I'intervalle (a, P). 



On sait que, si F{x) est une fonction integrable dans un certain intervalle, tout inter- 

 valle, qui est compris dans celui-ci, quelque petit qu'il soit, contiendra une infinite de valeurs 

 de X pour lesquelles la fonction F{x) sera continue. Done, dans I'expression (3), on pourra 

 toujours prendre, pour les ^^, des valeurs de x, pour lesquelles F{x) est continue. 



On en conclut que, F{x) et Fj (x) etant des fonctions integrables dans I'intervalle (a, [i5), 

 si pour toute valeur de x, pour laquelle la fonction F (x) est continue, on a Fj (x) = F (x), 

 on aura 



f F^{x)dx = \ F{x)dx. 



a a. 



De la on voit que, si Ton a a considerer une integrale de la forme 



f F{x)f{y)dx, 



a 



OU y = (D (x) est une fonction croissante ou decroissante, dont toutes les valeurs dans I'inter- 

 valle (a, p) sout comprises entre les nombres I et L, f(y) une fonction continue de y dans 

 I'intervalle (Z, L) %i F {x) une fonction quelconque integrable dans I'intervalle (a, (3), ou 

 pourra, sans faire intervenir une indetermination dans la valeur de I'integrale, laisser inde- 

 terminees les valeurs de 9 (a;), qui correspondent aux valeurs de x pour lesquelles cette fonc- 

 tion est discontinue, en supposant seulement que ^{x) se trouve toujours entre les nombres 

 (p(a; — ;0) et ^{x-^- 0). 



C'est ainsi que les int^grales que nous aurous a consid6rer dans la suite, et dans les- 

 quelles figurera la fonction decroissante p, auront des valeurs determinees, bien que cette 

 fonction ne soit determinee que la oil elle est continue. 



Signalons encore la forme sous laquelle on pourra employer, dans les conditions con- 

 sider6es, la formule d'integration par parties. 



Soient f{x) et f^ {x) des fonctions integrables dans Tintervalle (a, (B) et, par suite, in- 

 tegrables dans tout intervalle qui est compris dans celui-ci. 



