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Alors, si Ton pose 



ff(x) dx^C= F{x), ff, (x) dx-t-G^ = F, (a;), 



a a 



G, Cj etant des constautes, F(x) et F^{x) seront des fonctions continues dans I'intervalle 



(a, (3), et Ton aura 



J F(x)f,{x)dx = F{^)F,(i^)-F{oc)F,(cc)-l F,(x)f{x)dx,. 



a a 



ce qui est la formule requise, 



2. Soit cp {x) une fonction limitee dans I'intervalle (a, ^) et ne variant, quand x croit 

 de a a p, que dans un sens. 



En entendant par f{x) une fonction quelconque continue dans cet intervalle et en intro- 

 duisant les nombres x., ^,. du numero precedent, considerons la somme 



6tendue aux valeurs de i dans la suite 1, 2, 3, . . ., w. 



Nous allons montrer que cette somme tendra vers une limite determinee toutes les 

 fois que, n croissant indefiniment, les differences 



^1 — "'j *2 ^n •••5 ^n— 1 ^n— 2» P ^n— 1 



tendent vers zero. 



A cet effet nous remarquons qu'on pent ecrire 



S= <p (P) AP) - op («) f{a) - f{a) [9 il,) - 9 (a)] - /'(^,) [<p (^ - cp (E,)] 



- A^.) [? (^a) - 9 lyj - ... - A^n-.) [? (H„) ~ 9 (H„_.)] - A ^) [? (P) - ? (gj , 



car nous avons admis x^^= a., x^^=^; et si nous posons encore Eo = a, E„_^, = P, nous 

 pourrons presenter cette expression sous la forme 



^ = 9 (P) m - 9 (a) A«) -2 A^y) [? (H,-^,) - 9 (yj , 



la somme etant 6tendue a toutes les valeurs de j dans la suite 0, 1, 2, . . . , w. 

 Pour aller plus loin, posons 



9(a;) = 9, 



en entendant par 9 une variable pouvant recevoir toutes les valeurs entre les nombres 9 (a) 

 et 9 (P) , et en nous restreignant a cet intervalle, considerons x comme fonction de 9. 



