8 A. LlAPOUNOFF. 



Or, si Ton d^signe par yj le plus grand des nombres 



lAO-fK)!, ircO-fK)!, ..., \fi<)-fi^n)\, 



le second membre de I'egalite obtenue ne pourra surpasser en valeur absolue la quantity 



vi|<p(P)-(p(a)|, 

 car, par la nature de la fonction 9 (x), les differences 



tant qu'elles ne sont pas nulles, out le m^me signe. 

 D'autre part, les differences 



tendant vers zero, les differences 



et par suite celles-ci 



tendront encore vers z6ro. 



Done, la fonction f(x) etant continue, le nombre yj tendra vers zero, et notre egalit6 

 donnera 



q>(P) 



limS = cp(p)/'(p)-<p(«)A«)-J f{x)d<f. 



Aiusi Ton voit que la somme consideree tend bien vers une limite independante de la 

 loi suivant laquelle varient les nombres x^, l^. D'ailleurs, comme on pent prendre, pour les 

 ^j., des valeurs de x pour lesquelles o (rr) est continue, on voit que cette limite ne dependra 

 point des valeurs qu'on attribue a cp (x) la 011 cette fonction devient discontinue. 



Nous poserons 



a 



Alors I'egalite que nous venons d'obtenir s'ecrira ainsi 



(6) ' g<p(a;)AAaj) = 9(P)/"(P)-?(«)/'(«)— I fi^)^^ 



a <p (a) 



et representera une certaine extension de la formule d'integration par parties. 



