SUR l'eQUATION DE ClAIRAUT ET LES EqUATIOXS PLUS GEXERALES. 9 



Reraarquons qii'une pareille extension a ete sigiialee par Stieltjes dans son Memoire 

 couronue Becherches sur les fractions continues''''). Seulement Stieltjes ne considere que le 

 cas oil la fonction f{x) admet una derivee continue, cas dans lequel le syrabole 



a 



SB reduit a Tintegralc 



I (f (x) f (pc) dx . 



a 



3. Nous avons defini le symbole 



e 

 ^^{x)^f{x) 



a 



par la formule (5), et nous adopterons cette definition non seulement dans le cas de 



cc<x^<x^< ... < x^_^ < p , 



que nous avons eu en vue, mais encore dans celui de 



cc>x,>x^> ...> x^_^ > (3 , 



comme on le fait pour les integrales. Alors notre symbole jouira de plusieurs propri6tes des 

 integrales. 



Par exemple, on aura 



^^{x)^f{x) = — ^o{x)^nx), 



et si Ton designe par ^ un uombre quelconque de I'intervalle (a, p), dans lequel les fonctions 

 f(x) et (p (x) ont et6 definies, il viendra 



g ^{x) ^f{x) -H g <^{x) \f{x) = g 9(a;) ^f{x). 



a ^ a 



♦) Memoires presentes par divers savants ii rAcademie des Sciences de I'Inatitut do France, t. XXXII, .\; 2. 

 3an. *H3.-Mai. Orj. " 



