10 A. LlAPOUNOFF. 



D'ailleurs les symboles 



? 



representerons des fonctions contiuues de ^ dans Fintervalle (a, [3). 



Pour le montrer. nous remarquons que, y etant un certain nombre intermediaire entre 

 a et p, on a 



J /•(^)cZc>-/'(Y)[cp((3)-^(«)], 



<P(a) 



en vertu de quoi la formule (6) donne 



(7) g cp(^) Afix) = (p(«) [At)-/"(«)] -^ ?(P) [f (?)-/'(y)] • 



a 



En appliquant cette formule au symbole 



? 



et tenant compte de ce que f{x) est une fonction continue, on conclut que ce symbole 

 tendra vers zero toutes les fois que v] tend vers zero, et sela prouve la continuite dont 



11 s'agissait, 



Remarquons que la formule (7) represente une certaine extension de la proposition 

 connue sous le nom du second th^oreme de la moyenne; et on pent lui donner encore une 

 autre forme, qui est preferable dans les cas oil la fonction ^ (x) devient discontinue pour 

 35 = a ou pour a;== (3. 



A cet effet, en supposant pour fixer les id6es P > a, nous nous servirons de I'egalite 

 evidente 



f fix)d^ = f V(^)^cp-f-f(a)[<p(a-4-0) — (p(a)]-HAP)[cp(P)-<p(p — 0)], 

 9(a) (p(a+o) 



en vertu de laquelle la formule (6) pourra etre presentee sous la forme 



& <P(?-o) 



8 9 {X) Af{x) = <p (p _ 0) A?) - ? (a -*- 0) /■(«) - f fix) d^ . 



a <p(a+o) 



