Sue l'equation de Clairaut et les equations plus o^nerales. 1 1 



De la on deduit, comme precedemment, 



8 {X) ^f{x) = 9 (a -I- 0) [fiy] — f{a)] -f- 9 ( p - 0) [/•( p) - f{i)] , 



a 



Y etaut uu certain nombre intermediaire entre a et p. II va sans dire que ce nombre ne sera 

 pas, en general, le meme que celui desigue par cette lettre dans la formule (7). 



4. Soient a^ et % > a,, des nombres tels que, a, [3 etant des nombres quelconques veri- 

 fiant les in^galites 



ao<a<P<Po, 



les functions 9 {x) et f{x) satisfasseut, dans I'intervaile (a, P), aux conditions auxquelles nous 

 les avons assujetties, taudis que, pour x = a.Q et pour x = p„, la fonction f{x) devieune dis- 

 continue. 



En supposant que la fonction 9 {x) tende pour a; = a^ et pour a; = ^^ vers des limites 

 determinees, nous aliens examiner comment se comportera le symbole 



^<^{x)^f{x), 



a, 



quand on fera tendre a vers a^ ou p vers Po- 



Supposons que a tende vers «(, , [3 ayant une valeur fixe. 



Tout d'abord, il est evident que, si la fonction f{x) tend vers une liraite determin6e, 

 quand x, tout en restant sup^rieur a ao, tend vers a^, notre syrnbole tendra encore vers une 

 limite determinee, et que cette limite pourra 6tre exprimee par la formule (5), en y posant 

 a = a^ et en entendant par /"(a,,) et 9 {a^ les limites vers lesquelles tendeut f{x) et 9(3:) 

 pour x=za.Q. 



Or supposons maintenant que f{x) n'ait pas de limite pour x = a^. Nous allons montrer 

 que, si 9 (kq -+- 0) n'est pas egal a zero, le symbole en question n'aura pas non plus de limite 

 pour a = Kq. 



A cet eifet nous remarquons que, si la valeur limite /'(a^-t-0) n'existe pas, on pourra 

 assigner un nombre positif I fixe, tel que, si petit que soit le nombre a — a^, on ait 



l/(a)-A«i)|>^ 



des qu'on attribue a a^ une valeur convenahlement choisie dans I'intervaile (a^, a). 

 Cela pose, nous clioisirons le nombre Kj de telle maniere qu'on ait 



(8) |/"(a)-A«.)| = ^ 



2* 



