12 A. LlAPOUNOFF. 



et qiren m^rae temps il vienne 



(9) • \na) — f{x)\<l, 



toutes les fois que a^ <,0!: <.oc. Cela est toujours possible, la fonction f{x) etant contiaue, 

 tant que a ne devient pas 6gal a a^. 



En clioisissaut de cette mauiere le uombre Kj, appliquons la formule (7) au syrabole 



a. 



Nous aurons 



g cp (x) Af{x) = cp (aj [f (S) - f («,)] -f- cp (a) [f{a) - f{l)] , 



8 etant un certain nombre intermediaire entre a, et a, et le second membre de cette egalite 

 pent 6tre preseute sous la forme 



? (aj vm. - /"(«!)] -»- [? («) - ? («i)] im - AS)] . 



Done, en vertu de (8) et (9), il vieudra 



g9(^)Af(:r) >^{|^(a,)|-|9(a)-cp(«0|). 



a, 



Or, a tendant vers «(,, la difference <p (a) — cp (aj tendra vers zero et la quantity cp (a,) 

 tendra vers le nombre cp (ao~^- 0)? c[ui a ete suppGs6 different de zero. 



Done le second membre de I'inegalite obtenue tendra, pour a = a^, vers la limite 

 Z j <p (a^ -+- 0) I differente de z6ro, et cela prouve bien que le symbole 



^<^{x)Af{x) 



a. 



n'a pas de limite pour a = tx^. 



Ainsi la condition que f{x) tende pour a; = a^ vers une limite determinee, la limite de 

 cp (x) n'etant pas nulle, est non seulement suffisante, mais encore necessaire, pour que le 

 symbole consid6r6 ait une limite pour a = ao- 



On verra de meme que, si 9(^0 — 0) n'est pas egal a zero, la condition necessaire et 

 suffisante pour que, [3 tendant vers ^^ , notre symbole tende vers une limite determinee con- 

 siste en ce que la fonction f{x) ait une limite pour x= ^o- 



