SuR l'equation de Clairaut et les equations plus gexerales. 13 



Supposons cnfin que les nombres a et ^ tcudeut, independamment run de raiUre, le 

 premier vers «(,, le second vers ^o? et que les valeurs limites cp (a^ -i- 0) et o (P^ — 0) ue soient 

 pas nuUes. 



Pour que notre syrabole tende, dans ces conditions, vers une liraitc determin6e il sera 

 evidemment necessaire et suffisant que cliacune des deux valeurs liraites, /"(ao-nO) et 

 fC^Q — 0), existe. 



Nous conviendrons de designer les trois liraites ci-dessus du syrabole 



& 



a 



lorsqu'elles existent, respectiveraent par 



g9(a;)A/-(x), ^^ix)Afix), ^o{x)Af{x). 



5. La convention que nous venons de faire donue une certaine extension de la notion 

 du symbole 



(10) ^<u{x)Af(x), 



a. 



laquelle a ete etablie au n°2 seulement dans la supposition que la fonction f(x) est continue 

 dans I'intervalle (a, P), et Ton congoit bien que cette supposition etait essentielle pour la 

 definition donnee au numero cite, 



Maintenant nous procederons a de nouvelles generalisations, en etendant ladite notion 

 a des cas ou la fonction f{x) pent devenir discontinue pour des valeurs de x interinediaires 

 entre a et [3. 



En ce qui concerne 9 (x), nous retiendrons I'ancienne supposition que c'est une fonction 

 croissante ou decroissante dans I'iutervalle (a, (i), ne devenant pas infinie. Nous supposerons 

 d'ailleurs que 9 (a; — 0) et cp(a;-f-0) ne s'annulent pour aucune valeur de x dans cet 

 inter valle. 



Supposons d'abord que le norabre des valeurs de x dans I'intervalle (a, j3), pour les- 

 quelles la fonction f{x) devient discontinue, est liraite, et dcsignons ces valeurs par 



Yl » Ya > • • • ) Trj 5 



en supposant, pour fixer les ideas, 



^-<Ti<T.< ••• <Tn<?- 



