SUR l'eQDATION DE ClAIRAUT ET LE3 EQUATIONS PLUS GENERALE8. 17 



Done, si la condition dont il s'agit est remplie dans I'iutervalle (a, P), la difference 

 /s(^) — /i(^) doit se reduire a une constanto dans cet intervalle tout entier, et cela ue pent 

 avoir lieu que si la difference f^{x) — f^{x) se reduit a une coustante dans I'intervalle (a,, p,). 



II resulte de cette reraarque que, si le symbole (10) a le sens, les syraboles 



en auront encore, quel que soit le nombre \ appartenant a I'intervalle (a, j3). 



Mais quelles sont les conditions pour que le symbole (10) ait un sens? En d'autres 

 termes, quelles sont les conditions que doit renaplir la fonction f{x) pour qu'on puisse trouver 

 une fonction f-^{x)^ jouissant des proprietes signalees et d6terminee dans I'intervalle (a, P) a 

 une coustante additive pres? 



Tout d'abord il est evident que, pour que la fonction f^{x) existe, il faut que, dans tout 

 intervalle (aj, {3j) dans lequel la fonction f{x) devient discontinue seulement pour les valours 

 extremes, x^=:a^ et a; = p,, cette fonction tende vers des limites d6terminees, quand x tend 

 vers a^ ou vers [i^. 



D'autre part, pour que la fonction f^{x) soit determinec dans I'intervalle (a, (3) a une 

 coustante additive pres, cet intervalle ne doit contenir aucuu intervalle, si petit qu'il soit, 

 oil Ton ne puisse indiquer des intervalles partiels, dans lesquels la fonction f{x) fut continue. 



En effet, s'il existait uu pareil intervalle, la fonction f^{x) y pourrait se r6duire a une 

 fonction continue arbitraire. Elle ne serait done pas determinee dans I'intervalle (a, p) a une 

 eonstaute additive pres. 



Les deux conditions que nous venons d'6noneer sont done necessaires pour que le sym- 

 bole (10) ait un sens. Mais elles ne sont pas encore suffisantes. 



Dans certains cas determines on pourrait signaler des conditions necessaires et suffi- 

 santes de cette espece. Mais nous ne nous y arreterons pas, car pour I'objet de notre Memoire 

 la recherche de pareilles conditions ne serait d'aucune importance. 



7. Nous avons suppos6, dans ce qui precede, que o{x — 0) et 9 (a; -+- 0) ne s'annu- 

 laient pour aucune valeur de x dans I'intervalle (a, p). Or, s'il en 6tait autrement. on pour- 

 rait, dans certains cas, attribuer un sens au symbole 



• & 

 (10) g9(a;)A/-(a;), 



a 



quand m6me la fonction que nous avons designee par f^{x) n'aurait pas existd. 



Pour ce qui va suivre, il suffit de se boruer au cas oii 9(2;— 0) et ^(x-f-O) ne peuvent 

 s'annuler dans I'intervalle (a, ^) que pour a; = a ou pour x = ^. 



a 



3an. <l>H3.-MaT. Otj. " 



