18 A. LlAPOUNOFF. 



Plagons-nous done dans ce cas, en supposant, pour fixer les idees, que Ton ait a < ^ et 



cp(P — 0) = 0. 



Si la fouction f^(x) existait dans I'intervalle (a, P), le symbole (10) serait egal a la 

 limite, vers laquelle tendrait le symbole 



(11) ^c^{x)^m, 



a 



quand le nombre H, appartenant a I'intervalle (a, (3), tend vers [3. Or, cp(P — 0) etant 

 egal a zero , le symbole (11) peut avoir une limite pour ^ = ^ ra^me dans le cas ou 

 la fonction f^ix), tout en existant dans I'intervalle (a, ^) tant que i < P, cesse d'exister 

 pour H = (3 . 



Cela pose, nous entendrons par le symbole (10) la limite du symbole (11), E tendant 

 vers [3, dans tous les cas ou cette limite existe. Dans tons les autres cas, le symbole (10) sera 

 considere comme denue de sens. 



On voit que la nouvelle extension de la notion de notre symbole est encore de telle 

 nature que, si le symbole (10) a une valeur determinee, les symboles 



? - ^ 



g(p(a;)AA^), 8?(^)AA^) 



a I 



seront dans le meme cas, quel que soit le nombre ^ de i'intervalle (a, [3). 



On voit d'ailleurs que ce seront des fonctions continues de ^ dans cet intervalle, veri- 

 fiant I'egalite 



g (p (X) Afix) -*- g 9 (a;) Af{x) = g ? («) m^) • 



a ^ a 



8. Nous avons deja remarque que, si la derivee f'{x) existe et est une fonction continue 

 de X dans I'intervalle (a, ^), on a 



(12) f ^ix)f{x)dx=^<^{x)Af{x), 



a a 



et Ton voit facilement que cette egalite subsistera encore, si la derivee f'{x), sans 6tre con- 

 tinue, est seulement integrable dans I'intervalle (a, P). 



Considerons maintenant le cas ou la derivee f'ix) devient infinie dans cet intervalle, en 

 supposant toutefois que la fonction f{x) y soit continue. 



