SuR l'equation de Clairaut et lbs equations plus generales. 23 



Douc, comme on a 



""^ (2m-Hl)h — —a , 



la quantity qui figure a la premiere ligue de I'expression de M tendra pour h = vers z6ro. 



II est facile de voir qu'il en sera de m6me de la quantite qui figure k la deuxieme 

 ligne. 



En effet, cette quantite peut 6tre exprim6e par la formule 



(21) '°\..~?)>'°' -■''P'. 



P(a) 



oil a, z designent ce que deviennent a, z^ comme fonctions de p, lorsqu'ou remplace p par p'. 



Or on peut supposer que toutes les valeurs de a sous le signe de I'integrale appar- 

 tiennent a I'intervalle (a, a h- ^); et dans cette supposition, \li\ etaut au-dessous d'une cer- 

 taine limite, la fonction a integrer ne surpassera pas, en valeur absolue, un certain nombre 

 fixe, quelque petit que soit %. 



D'autre pare, nous avons deja remarque qu'on peut entendre par p(a) un nombre quel- 

 conque de I'intervalle (p{a-f- 0), p(a — 0)), et Ton voit que I'expression (21), ou la fonc- 

 tion a integrer s'annule pour a = a, ne depend point du choix de ce nombre. 



On peut done entendre par p (a) la limite vers laquelle tend, pour le signe choisi de h^ 

 la quantite p(a-+-ft), et des lors il devient Evident que I'integrale (21) tendra vers zero 

 pour ^ = 0. 



Ainsi on parvient a la conclusion que B tendra vers z6ro avec fe, et cela quel que soit 

 le signe de h. 



dW 



Par suite, eu 6gard a ce que nous avons suppose 1 'existence de la d6riv6e -^, taut que 

 a n'est pas egal a zero, I'^galite (20) fait voir que le rapport 



z{a-t~h) — e{a) 

 h 



tendra pour /» =: vers une limite determin^e et independante du signe de h. 



Done la derivee |^ existera pour toute valeur de a intermediaire entre et A, et Ton 

 voit qu'elle sera donnee par l'equation 



(22) I \\a>ia ^ 5^ <,—■ § pA(a"-'.) - g^ a" g P^''''""^) = 



dd'W 

 da 



11. Nous avons admis que la derivee -^ reste continue, tant que a ne devient pas 6gal 

 a zero. Eu egard a cette circonstauce, l'equation (22) fait voir que la d6rivee ^ sera con- 

 tinue, au moins tant que a n'atteint pas ses valeurs extremes, et J. 



