SuR l'equation de Clairaut et les Equations plus qenerales. 27 



14. Tout d'abord il est facile de s'assurer que, u etaut une fonction continue dans 

 I'intervalle (0, A), I'expression J(«<)> consider6e comme fonction de a, le sera encore. 



Comme la coutinuite de cette fonction, tant que a ne devient pas egal a z6ro, decoule 

 immediatement de son expression (26), il ne reste qu'a examiner ce qui se passe, lorsque a 

 tend vers zero. 



A cet effet nous allons transformer I'expression (26), en appliquant aux symboles qui 

 y figurent la formule (6), 



En euteudant par p,, et pj les valeurs de p pour a = et pour a = A, nous aurous aiusi 



I- 



.Pi 



p 



gpA(a'"-^=^M) = pa'"-^^< — I a'»-^^wc^p, 



Po 



A 



g p A(a'-"*w) = pi^'-"'w {A) — p a^-'^u — J a'-^'w d^ , 



u{A) etant la valeur de u pour a = A. 



En vertu de cela, nous obtiendrons pour le produit 



2m-+-l "^ 



^1 pa^da'J{u) 







cette expression 



(28) p.A'-'^uiA) a"^-^-^- a-"*-' j'>-^^M(^p -+- «"'-^|'a^-'"wdp, 



P P 



[V^-^^Mc^pn-tt"-'! 

 p P. 



Or, M etant une limite superieure pour la valeur absolue de la fonction u dans I'inter- 

 valle (0, A), on a 



.Po 



I a'^-^'ud? 



P 



<iV/(pe-p)a^ 



Par suite, en remarquant que po — p tend vers z6ro pour a = 0, on voit que le 

 deuxieme terme de la formule (28) tend encore vers zero pour a ^ 0. 

 Quant au troisieme terme, il tendra, si m = 2, vers I'int^grale 



I udp , 



Pi 



