28 A. LiAPOUNOFP. 



et si wi > 2, vers zero, car, a etaut un nombre choisi arbitrairement entre a et A, on a 



r 



Pi 



a"'-'\ a'-'^u dp <M[p (a) - p J (|)'""' -h M [p - p (a)] , 



et le second raembre, en faisant a et a suffisamment petits, pent etre rendu aussi petit qu'on 

 voudra, toutes les fois que j» > 2. 



De la, en tenant compte de ce que 



1 r" 1 



lim^J pa2c?a = ypo, 



on conclut que, a tendant vers zero, J(m) tendra, si m= 2, vers la quantite 



(^^-^TjJ ^^P' 



3 p, 



Pi 



et si m >• 2, vers zero. 



Done la continuite de I'expressiou J(m) dans I'intervalle (0, A) est prouvee. 



Une autre propriete de cette expression qu'il importe de signaler decoule encore de la 

 formule (28). 



Cette formule, dans laquelle Po > p ^ Pi > ^^i^ ^oi^ ^^^, ^^ ^^ fonction u ne prend, 

 dans Vintervalle (0,-4), que des valeurs positives ou nulles, la fonction J{u) sera dans le 

 mime cas. 



Or supposons que u soit une fonction continue quelconque, et d^signons par L la plus 

 grande et par I la plus petite de ses valeurs dans I'intervalle (0, A). 

 En vertu de ce que nous venons de dire, il viendra 



J(i — m)>0, J(u — l)>0 



pour toutes les valeurs de a dans I'intervalle (0, A), et de la il resulte 



U(l)<J{u)<LJ{l). 



Done, si Von a dans Vintervalle (0, A) 



\u\ <M, 



M etant une constante, on aura 



|J(M)|<ilf J(1). 



