30 A. LlAPOUNOFF. 



Toutes ses fonctions seront continues dans I'intervalle (0, A), car, en vertu des suppo- 

 sitions que nous avons faites a I'egard de W, la fonction 



r 



pa'^da 







sera continue dans Tintervalle (0, A), et d'apres ce que nous venons de montrer, la fonction 

 J (uj sera continue dans le m6me interValle, si la fonction u^ y est continue. 



Done la fonction u^ — ^n— i' ^^^^ que soit n, sera encore continue dans I'intervalle 

 (0,^), et nous pourrons appliquer a I'expression 3{u^ — ^«_i) I'lnegalite (29), ce qui donnera 



M etant une limite superieure, dans I'intervalle (0, A), pour la valeur absolue de la fonc- 

 tion U^ '\—i' 



Or la relation (30) donne 



Nous aurons done 



«*n=JK — «*«-i)- 



I «*„_... W„| < X tM„ 



I n-Hi w I ^^ 2m -1-1 »• 



et, par suite, 



(31) h«-.x-^«i<(2^r^i- 



Nous remarquons maintenant que, I'entier m etant suppose superieur a 1, le nombre 

 ^^_^^ sera plus petit que 1 : il ne surpassera pas m6me -g-. 

 Par suite de cela, I'inegalit^ (31) fait voir que la s6rie 



% ■+■ K — «*o) -+■ K — **i) -+- K — Ma) -H . . . 



sera absolument et uniformement convergente dans I'intervalle (0, ^) ; et comme la somme 

 de ses w -I- 1 premiers termes se reduit h u^, on voit que, n croissant indefiniment, u^ tendra 

 vers une certaine limite, et cela uniformement pour toutes les valeurs de a dans I'intervalle 

 (0, A)^ ce qui assure que cette limite repr^sentera une fonction de a continue dans I'inter- 

 valle (0, ^). 



Cela pos6, il est facile de voir que la fonction ainsi d^finie satisfera a I'^quation (27). 



