SUR L'l^qUATION DE ClAIRAUT ET LES l^qUATIONS PLUS GENERALES. 31 



En eflFet, en d^signant cette fonction par w et tenant corapte de r6galit6 (30), nous 

 pouvons ecrire 



W — 3{l0) = to W„^. —J(W u). 



J p o' do 







Or, t^ etant la plus grande valeur absolue de la fonction w — u^ dans I'intervalle (0, A), 

 on a, d'apres (29), 



|J(^^-^g|<2^£„. 



Done nous aurons 



w — J (w) • 



J p a* rfa 



< ^n-i-, -+- 



2m -t- 1 n 



et cette inegalit6 ne peut avoir lieu que si Ton a 



w — i{w) — = , 



rp a'^da 







car, n croissant indefiniment, les quantites e^, t^^^ tendent vers zero. 



Ainsi la fonction w, vers laquelle tendra ?<^, est une solution de I'equation (27). Ce sera 

 done aussi une solution de I'equation (2). 



16. La suite des approximations successives ^<^, Wj, u^, . . . , par laquelle nous avons 

 defini la fonction w, depend du choix de la fonction ii^. Neanmoius la fonction w n'en de- 

 pendra nullement. 



En effet, soient: Vq une autre fonction continue dans I'intervalle (0,^) et 



les fonctions en lesquelles se changent 



lorsqu'on remplace u^ par v^. 

 Nous aurons 6videmment 



M — V .^J(w_ — w). 



n-i-l f»-»-i " V f» n' 



