Sdr l'equation de Clairaut it lbs equations plus generales. 33 



De la ou voit que la fouction w verifiera toujours I'iDegalite 



I ' ^ 2 (to — 1) 



Remarquons d'ailleurs que, si la fonction W ne peut prendre daus I'iutervalle (0, ^) 



que des valeurs positives ou uuUes, tous les termes de la serie (32) serout positifs, de sorte 



qu'on aura 



w ':> W^-i- w^-\- w^-\- . . . -^ w^, 



quel que soit n. 



17. On voit que les termes de la serie (32) n'admettent pas, en general, de derivees. 

 Toutefois, d'apres ce que nous avons vu au n^ll, la fonction w, qui est one solution de 

 l'equation (18), admettra une derivee ^, qui sera continue, tant que a ne se reduit pas 

 a zero. 



En rappelant que la derivee ^ a ete supposee telle que a -j- tende vers une liraite 

 determinee pour a = 0, nous allons maintenant montrer que la derivee ^ possedera la 

 m^me propriete. 



Pour cela, reportons-nous a l'equation (23), qui conduira a cette identity 



(mw-t-a^)\ pa'da — a J p -^— da = maW -*- a ^^ . 

 a 



Or, en appliquant la formule (6), oc trouve 



A P 



J p ^^rpE da = o^A'-"'iv{A) — pa;'-"'w—\ ^a'-"'wdp, 



a P 



oil w (A) designe la valeur de w pour a = A. 



D'apres cela, notre identite peut etre presentee sous la forme 



Lnw-^a^£)^ fp a'da = p,w{A) (jf" - ?^ -*- a'-^f a^'^^^^p -*- (m -h 3) 



Pi 



et comme, a tendant vers zero, le produit 





tend vers une limite determinee (nM4), on en conclut que a £ tendra encore vers une 

 limite determinee. Cette limite ne pourra d'ailleurs differer de zero. 



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3an. $118. -MaT. Otx. 



