34 A. LlAPOUNOFF. 



Aiusi la fonction w sera telle que la derivee ~ sera contiDue dans I'intervalle (0,^) 

 tout eutier. 



Nous verrons dans ce qui suit que la solution w, que nous venons de definir pour 

 m > 1 , est, dans ce cas, la seule possible. 



IV. — Examen d'un cas particulier important'. 



18. Nous nous arreterons maintenant au cas ou la fonction W se reduit a 



N etant une constante. Si m = 2, ce sera le cas de I'equation de Clairaut. 

 Nous allons done considerer I'equation 



(33) 4?«^^«-2^Ip^^«-iTT[e-V-^« = ^«'" '' 



a 



et nous la traiterons par une methode differente de celle que nous venons de developper. 



A cet effet reportons-nous a ce qui a ete montre aux numeros 10 et 11. 



Nous avons vu que toute fonction s qui verifie I'equation (2) verifiera aussi celle (23), 

 et cette derniere equation se reduit dans le cas consid^re a 



(34) (m^ -+- a £) fp a^da — a"*"^' J p ^^^ da = (2m -h 1) iVa"*-^'. 



a 



En eliminant entre les equations (33) et (34) I'integrale 



a 



I 



OU en deduit encore celle-ci 



(35) ((m-Hl)^ — ag)|V'^« — «~'"fp^^^^« = 0. 







et Ton voit que toute fonction ^ qui verifie les equations (34) et (35) verifiera aussi celle (33). 

 Pour aller plus loin, supposons d'abord que p soit une fonction continue de a. 



