SuR l'equation de Claieaut bt lbs Equations plus genebalks. 35 



Dans ce cas, les integrales qui figureut dans les equations (34) et (35) admettront 

 des derivees, et chacune de ces equations fait voir que la fonction z admettra la secondc 

 denvee ^ , au moins tant que a n'est pas egal a zero. On voit d'ailleurs que cette derivee 

 sera exprimable au moyen de ^ et ^; car, si Ton considere, par exemple, l'equation (35) 

 et qu'on la diff^rentie apres I'avoir raultipliee par a*", on en d6duira 



\m (m H- 1 ) a"*-' ^ - a""*"' ^^~\ f p a" rfa — 2p a^-^^z — 2p a'"-*-^' | = , 



ou bien 







et Ton obtiendrait le m6me resultat en partaut de l'equation (34). 



Nous parvenons ainsi a une equation diifereutielle lineaire du second ordre. C'est 

 l'equation qui, dans le cas de m=2, a 6te signalee encore par Clairaut, et qui, pour 

 w > 2, a 6te obtenue pour la premiere fois par Legendre. 



Rejetons maintenant la supposition que la fonction p soit continue dans I'inter- 

 valle (0,^). 



Alors l'equation ci-dessus n'aura lieu que pour un certain ensemble de valeurs de a, 

 et en general, au lieu de cette equation, nous aurous deux equations que nous allons ecrii-e 

 a Tinstant. 



En entendant par 



u z= f{a) 



une fonction quelconque de a, considerons le rapport 



f(a^h)-f(a) 



et supposons que h teude vers zero en conservant son signe. Si ce rapport tend vers une 

 limite determinee, nous couviendrous de designer cette limite: dans le cas de /< > par 



du 



da 



-*- 



et dans celui de ^ < par 



du 



da- 



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