SuR l']6quation de Claieaut bt les equations plus gMrales. 39 



tend vers une limite deterniinee, lorsque le nombre t, que Ton suppose positif, tend vers 

 zero, et a cet effet il suffit de montrer I'existence d'une limite pour I'integrale 



(4 1 ) f a-'"*-*rfa jV"*-^^ 9' da ; 



car, d'une part, sous la condition iraposee a la fonction v, I'expressiou 



a'-'" 



da 



admet, dans I'intervalle (0,^), une limite sup6rieure, et d'autre part, la fonction 9' ne pent 

 prendre, dans cet intervalle, que des valeurs positives ou nulles, puisque, p 6tant une fonction 

 decroissante de a, on a 



P« 1 



J p a^ rfa > y p a* . 







Or, en integrant par parties, on obtient pour I'integrale (41) cette expression: 

 ^L_^ 9'rfa — % r- a'^^^H'da -f- ^ d^'^-^'B'da . 



2»n- 1 J 2to -H 1 J 2m -+- 1 J 



e 



On a d'ailleurs 



fa^'"-"^9'da< e^'-^'f^'da, 







et comme, d'apres la formule (38), la fonction 9(a) s'anuule pour a = 0, on aura evidemment 



['9'da = 9(£). 







Done, I tendant vers z6ro, I'integrale (41) tendra vers 



^r^^ — -o r U"" e^«, 



2»n- 1 2to -+- 1 J ' 



et par suite, I'integrale (40) tendra encore vers une limite d^terminee. 



Ainsi Ton voit que, dans les conditions indiquees, S{v) repr^sentera une fonction bien 

 deterrainee de a. Cette fonction sera continue dans Tiutcrvalle {0,A} et s'annulera pour 



