SUK l'eQUATION DE ClAIKAUT ET LES EqOATIUNS PLUS CENTRALES. 41 



II en resultera encore I'egalite 



S{H) = S(l) -^ 8{H,) -H S{H,) -t- . . . , 



d'ou Ton voit que la fonction H ainsi d6fiuie verifiera I'^quation (39). 



Ainsi tout revient a prouver la convergence uniforme des series (42). C'est ce que 

 nous aliens faire tout de suite. 



21. La formule 



H, = 2S{1) = 2 fa-'^^-'da foT^'^'^-^ da, 



en integrant par parties, donne 



1 2m-t-l 2m -I- 1 J 



D 'autre part, on a 



Done il vieut 



^ = 2 (w — 1) a-'""-' j a'^^^'b'da. 



dH, 



(43) a'^-*-(2wH-l)£?i = 2(m— 1)9. 



Pareillement, en remarquant que la formule 



donne 



dar~'B„_, cf ,„ 2 „— 2m— 1 f^^m-i-a da'"~'jEr„_, A' 



n 2m-t-\ i da 2m -+- 1 J 



O'da, 



da ' 







(44) '^ = 2a-^'"-^ f ««-« '^"'""jf- 9' da , 



on trouve 



(45) af^' -*- (2m-H 1)^„ = 2 f [a %i -h (m - l)Zr,_.] 9' da. 



3aD. *in.-MiiT. Ot;j. 



