SuR l'eqdation de Clairadt et les equations plus generales. 46 



cette iuegalite aura lieu pour toutes les valeurs de w, a partir dc n= 2, et pour les mfimes 

 valeurs de n on aura 



l^„l<^„- 



On en conclut que les series (42) serout absolument et uuiformeuieut convergeutes 

 dans I'intervalle (0,-4). 



On voit d'ailleurs que, si Ton entend par Q^ la valeur absolue de la fonction 







on aura dans tous les cas 



n I ^ n ' da 





le signe de I'^galite se rapportant aux cas ou Ton a n= I ou w ^ 1 . Mais le cas de w > 1 

 se distiuguera par cette circonstance que les fonctions 



TT dH,i 



n' da 



serout toujours positives dans I'intervalle (0,^), taudis que, pour m=:0, ces fonctions 

 pourront changer de signe et, pour m = 1 , elles seront toutes identiquement nuUes. 



22, Nous venous d'etablir, pour les equations (36), I'existence d'une solution de la forme 



H 6tant une fonction se reduisant pour a = a 1 . 



Nous avons d'ailleurs obtenu pour H une expression parfaiteraeut d^terrain^e sous forme 

 d'une serie toujours convergente. 



Cette serie fait voir que, dans le cas de w > 1, H sera une fonction croissante de a. 

 Quant aux deux autres cas, m = et m = 1, dans le deuxieme ou aura H{a)= 1 quel quo 

 soit a, et dans le premier, H sera une fonction qui pourra croitre dans certains intervalles 

 et decroitre dans d'autres, niais qui, pour des valeurs assez petites de a, sera toujours d6- 

 croissaute, puisque flj, qui est doune pour m=: par la formula 



K = —- Terfa, 



1 a i ' 







est, dans ce cas, une fonction decroissante dc a. 



