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A. LlAPOUNOFF. 



Nous allons mainteuant signaler quelques formules relatives a la fonction H, qui nous 

 seront necessaires dans la suite. 



Nous avons vu que les equations (36) sont une consequence de I'une ou de I'autre des 

 equations (34) et (35), et la voie m6me qui a conduit aux equations (36) fait voir que toute 

 solution de ces Equations verifiera necessairement les suivantes: 





(47) 



Lm-^-a ^) \% o?da — a'""*"' [^p ^^ da = C\a'"^\ 



nm-Hl)^ — a-^j\pa^da — a *" [ p 



'. o 



■"' W/,»»+3 , 



da 



da = C^a "*, 



C\, G^ 6tant des constantes. 



Si Ton considere une solution determinee, ces constantes pourront 6tre 6valuees en 

 attribuant a a une valeur particuliere. Faisons le pour la solution que nous venons de 

 definir. 



En posant 



2 = a'^-'Hia), 



on trouve 



mz-i-ap = [2{m—l) H{a) -+- a H\a)] a'"-^ 



dz 



(^n -i-l)z — a~ = \3H{a) — aH\a)] a'"-', 



H'{a) etant la derivee de la fonction H(a), 



DoQC, en faisant dans la premiere des equations (47) a=:A, on obtient 



C^ = [2im—l)HiA)-t-AH\A)]A~'j pa^da, 







et en faisant dans la deuxieme, apres I'avoir multipliee par a"', a = 0, ou a 



(7, = 0. 



(48) 



Par suite, on parvient a ces deux egalites: 



I p^da = [2{m—l)H-+-aH']a~'fpa'>da — h, 



\? da ^ ^ = {^H—aH')a^'"-^\pd'da, 



