SuR l'equation de Clairaut et les equations plus generales. 49 



Pour que cette formule represeute la solution a'"~^£/, il faut et il suffit que Ton ait 



3<xA'— 2(w— 1)(3^-'""-'-' = H'iA). 



De la on tire 



« = 2^ [2(m- l)HiA) -*-AH'iA)] A-% 



et, avec ces valeurs de a, [3, on aura pour a > ^ 



H{a) = aa«-»-pa-'('"-'\ 



On voit que, m etant superieur a 1 , les constantes a et j3 seront positives. 



Done la fonction H sera, dans ce cas, toujours positive et ne cessera d'etre croissante 

 pour a > -4 . 



Ayant ainsi d6fini la fonction H pour toutes les valeurs positives de a, nous d^finirons 

 la fonction G, du moins en ce qui concerne le cas de w > 1 , par la formule 



(49) G{a) = a"^-^'H{a) 



(nj pa^daj 



Remarquons que les fonctions H et G seront li6es par la relation 

 (50) a-'^-'G ^^V-^ — «'"~'^ ■ 



— m — 3 /^ da H ^m — z-rjda G 



-5 a a 3 



da da 



qui se r6duit a 



^ (J pa'daj 



24. Signalons quelques propri6t6s de la fonction G d66me par la formule (49), en 

 supposant toujours w > 1 . 



On voit que cette fonction est toujours positive. 



D'ailleurs il est facile de raontrer que c'est une fonction croissante de a. 



3«n. 4». MaT.-Orx. ' 



