54 A. LlAPOUNOFF, 



V. — Nouvelle forme de la solution dans le oas general. 



26. En retenant toujours la supposition m > 1, nous allons maintenant signaler une 

 formule g6n^rale, qui donnera la solution de I'equation (2) au moyen des fonctions H et G 

 introduites dans la Section pr6c6dente. 



Cette formule est la suivante: 



(56) z :^ — 1- a Gr \ p — ^ — da -*- a H\ p — ^ — da. 



\ pa'^da 



a 



Pour la prouver, nous allons simplement montrer que la fonction z ainsi d6finie satis- 

 fait reellement a I'equation (2). Mais avant de le faire, verifions cette formule sur le cas 

 particulier que nous venous de considerer, celui oil Ton a W=Na^~'^. 



En supposant, pour plus de simplicite, N=l, nous aurons, d'apres la formule (56), 

 I'expression suivante pour la solution de I'equation (33): 



. = -^- -- «-•"-(? j p ^^^ da + a"->H J p f rfa. 



I pa^da a 



't 



Or, par la deuxieme des formules (48), on a 



^p^^-^da = {BH—aH')a'^-'\pa^da, 



, — m — 3 

 



et la deuxieme des formules (55) donne 



dG 



a"—^]* p^^da = [2{m-^2)GiA) — AG'{A)]A-' \ pa^da-a"" 



a 



— [2{m -^ 2) G — aG'] a'^-'' f pa^ da. 



On a d'ailleurs, en vertu de (54), 



2{m-^ 2) G{A) — AG' {A) = (2m-i- 1) G{A), 



et la formule (53), en introduisant la constante h qui figure dans la premiere des ega- 

 lit6s (48), pent 6tre presentee sous la forme 



GiA) = ^' 



h \ pa'' da 



